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Kuniberts Dilemma

Das Zentralabitur rückt unaufhaltsam näher, daher dachte ich mir, es wäre Zeit einmal vorbereitend zu versuchen, den in Mathe behandelten Stoff auf realitätsnahe, gesellschaftliche wichtige Probleme anzuwenden. Auf diese Weise - da war ich mir sicher - könnte man sich bestimmt so einiges leichter einprägen.

Leider wurde mir dabei klar, dass anscheinend die mir bekannte Welt der Mathematik eine Scheibe ist, deren Grenzen nur zu schnell erreicht werden. Aber seht selbst:

Der Turm

Nehmen wir an, Ritter Kunibert will einen Turm bauen. Dazu steht ihm eine große ebene Fläche, ein großer Vorrat an Steinen und ein fest im Boden verankerter, jedoch frei drehbarer Kran zur Verfügung.

Kunibert mauert im Vorbeifliegen seinen TurmEine klassische Vorgehensweise wäre nun, sich von dem Kran die Last nach oben reichen zu lassen und somit einen zylinderförmigen Turm mit einem Radius welcher der Länge des Kranarmes entspricht zu errichten. Ritter Kunibert will jedoch neue Wege begehen: Er hat vor große Vorratsmengen in seinem Turm zu lagern und wünscht sich daher ein möglichst großes Volumen. Die Idee die ihm dafür kommt ist einfach und genial:

Er bindet sich selbst an das Seil, und packt ein paar Steine in einen Sack. Dann wird der Kran mithilfe von Pferden in Rotation versetzt, wodurch Kunibert nach außen geschleudert wird. Im Vorbeifliegen mauert er den Turm. Dabei kommt er immer höher, je schneller die Pferde den Kran antreiben.

Nun ist es natürlich essentiell für Kunibert, zu wissen wie hoch und wie weit nach außen er abhängig von der Winkelgeschwindigkeit \omega des Krans kommt. Denn auch Pferde können nur begrenzt schnell laufen! Zur Veranschaulichung hier eine Skizze:

Skizze des Turmbaus mit dem Kran

Während die Gewichtskraft F_g=m \cdot g den Ritter nach unten zieht, drückt ihn die “Zentrifugalkraft” F_z (die ja, wie wir alle wissen, eine aus der Trägheit resultierende Scheinkraft ist!) ihn nach außen.

Aus dem Strahlensatz folgt der Ansatz

\frac{F_g}{F_z}=\frac{h}{l}

Wegen h^2+l^2=s^2, F_g = m \cdot g und der Formel für den Betrag der Zentripetalkraft F_z=m \cdot \omega^2 \cdot (r+l) folgt daraus der Ansatz

\frac{m \cdot g}{m \cdot \omega^2 \cdot (r+l)}=\frac{\sqrt{s^2-l^2}}{l}

Durch Quadrieren erhalten wir

\frac{g^2}{\omega^4 \cdot (r+l)^2}=\frac{s^2-l^2}{l^2}

Durch einfaches Umformen und umstellen erhalten wir am Ende ein solches Gebilde:

\frac{g^2}{w^4}+r^2-s^2 = -l^2-2rl+2srl^{-1}+s^2r^2l^{-2}

Eine Art Polynom welches nach l aufgelöst werden soll - hier jedoch versagen alle mir bekannten Methoden. Natürlich könnte Kunibert durch Ausprobieren eine Lösung für die Gleichung ermitteln aber schön ist das nicht - schließlich ist die Natur anscheinend auch in der Lage eine richtige Lösung zu finden.

Sollte jemand eine Lösung für dieses Dilemma haben oder vielleicht einen Fehler in den obigen Schritten sehen, würde ich mich sehr über Rückmeldung freuen!

Der Beitrag wurde am Montag, den 25. Dezember 2006 um 02:03 Uhr veröffentlicht und wurde unter Schule abgelegt. Du kannst die Kommentare zu diesen Eintrag durch den RSS 2.0 Feed verfolgen. Du kannst einen Kommentar schreiben, oder einen Trackback auf deiner Seite einrichten. Einen Kommentar schreiben

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